सभी $n \ge 1$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$n=1$ के लिए,$P(1): 1^{2} = \frac{1(1+1)(2 \times 1+1)}{6} = \frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1,$ जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1^{2}+2^{2}+\ldots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \quad \dots(1)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ भी सत्य है।
प्रथम $(k+1)$ पदों का योग लें:
$(1^{2}+2^{2}+\ldots+k^{2})+(k+1)^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^{2} \quad [(1) \text{ का उपयोग करने पर}]$
$= \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}$
$= \frac{(k+1)[2k^{2}+7k+6]}{6}$
$= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$
$= \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है,तब $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \ge 1$ के लिए सत्य है।